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Categoria: MATEMATICA

  • CLASSIFICAZIONE TRIANGOLI

    Mappa Concettuale Triangoli

    🔺 I TRIANGOLI 🔺

    TRIANGOLO

    📐 CHE COS’È?

    ✓ Un POLIGONO con 3 LATI

    ✓ Ha 3 ANGOLI

    ✓ La somma degli angoli è sempre 180°

    📏 PER LATI

    🟰 EQUILATERO

    ▸ 3 lati UGUALI

    ▸ 3 angoli uguali (60°)

    ⚖️ ISOSCELE

    ▸ 2 lati UGUALI

    ▸ 2 angoli uguali

    📐 SCALENO

    ▸ 3 lati DIVERSI

    ▸ 3 angoli diversi

    📐 PER ANGOLI

    ◄ ACUTANGOLO

    ▸ 3 angoli ACUTI

    ▸ Tutti < 90°

    ⊿ RETTANGOLO

    ▸ 1 angolo RETTO

    ▸ Esattamente 90°

    ▸ Teorema di Pitagora

    ◢ OTTUSANGOLO

    ▸ 1 angolo OTTUSO

    ▸ Maggiore di 90°

  • Geometria base

    Mappa Concettuale Geometria

    📐 GEOMETRIA – Concetti Fondamentali

    🎯 PUNTO MEDIO

    È il punto che divide un segmento in DUE PARTI UGUALI

    A ———— M ———— B
    AM = MB

    ✂️ BISETTRICE

    È la semiretta che divide un angolo in DUE PARTI UGUALI

    α = β

    📏 ANGOLO PIATTO

    Misura esattamente 180°

    180°

    Come una linea retta!

    ⬜ ANGOLO RETTO

    Misura esattamente 90°

    90°

    Come l’angolo di un quadrato!

    🤝 ANGOLI COMPLEMENTARI

    Due angoli la cui SOMMA è 90°

    α + β = 90°

    Esempio: 30° + 60° = 90°

    ➕ ANGOLI SUPPLEMENTARI

    Due angoli la cui SOMMA è 180°

    α + β = 180°

    Esempio: 120° + 60° = 180°

    ⭕ ANGOLI ESPLEMENTARI

    Due angoli la cui SOMMA è 360°

    α + β = 360°

    Esempio: 270° + 90° = 360°

    🎓 TEOREMA IMPORTANTE

    Gli ANGOLI SUPPLEMENTARI di angoli CONGRUENTI sono CONGRUENTI

    Se α ≅ β
    Allora: (180° – α) ≅ (180° – β)

    📝 In parole semplici: se due angoli sono uguali, anche i loro supplementari sono uguali!

  • POLIGONALE

    Segmenti e Poligonali

    SEGMENTI
    E
    POLIGONALI

    COSA STUDIEREMO

    Come i SEGMENTI si uniscono

    Due tipi di segmenti uniti
    CONSECUTIVI e ADIACENTI

    Come formano le POLIGONALI
    APERTE e CHIUSE
    INTRECCIATE e NON INTRECCIATE

    V V V

    COS E IL SEGMENTO

    RICORDIAMO

    Un SEGMENTO e una parte di retta
    A ————— B

    Due ESTREMI
    Punto A e Punto B
    CARATTERISTICHE
    Ha DUE estremi

    Ha LUNGHEZZA finita

    E la parte PIU CORTA
    tra due punti

    E DRITTO non curvo
    V V V

    SEGMENTI CONSECUTIVI

    DEFINIZIONE

    Due segmenti sono CONSECUTIVI quando
    1 Hanno UN ESTREMO in comune
    2 Gli ALTRI due estremi sono DIVERSI
    3 NON stanno sulla STESSA retta
    A
    |
    | SEGMENTO AB
    |
    B ——— C
    SEGMENTO BC

    B e l ESTREMO COMUNE
    CARATTERISTICHE
    Si TOCCANO in UN punto

    Formano un ANGOLO

    Possono avere DIREZIONI diverse

    Come una LINEA SPEZZATA
    ESEMPIO PRATICO
    Come i bordi di una SCALA

    Ogni GRADINO tocca il successivo

    Formano una linea a ZIG ZAG

    Si uniscono ma cambiano direzione
    V V V

    SEGMENTI ADIACENTI

    DEFINIZIONE

    Due segmenti sono ADIACENTI quando
    1 Sono CONSECUTIVI
    2 Stanno sulla STESSA RETTA
    3 Formano una LINEA DRITTA
    4 Hanno solo l estremo comune
    A ————— B ————— C

    SEGMENTO AB
    SEGMENTO BC

    TUTTI sulla STESSA RETTA
    CARATTERISTICHE SPECIALI
    NON formano angoli

    Sono SEMPRE allineati

    La SOMMA delle lunghezze
    da la lunghezza TOTALE

    Come UN SOLO segmento lungo

    DIFFERENZA IMPORTANTE

    CONSECUTIVI si toccano
    ma NON sono dritti

    ADIACENTI si toccano
    E sono sulla stessa linea

    ADIACENTI sempre CONSECUTIVI
    CONSECUTIVI NON sempre ADIACENTI

    ESEMPIO PRATICO
    Come una STRADA DRITTA

    Divisa in TRATTI

    Ogni tratto tocca il successivo

    Ma la strada resta DRITTA
    V V V

    LE POLIGONALI

    COS E UNA POLIGONALE

    E una LINEA SPEZZATA

    Fatta da SEGMENTI CONSECUTIVI

    I segmenti si chiamano LATI

    I punti comuni si chiamano VERTICI

    Ci sono QUATTRO tipi

    V V V

    POLIGONALE APERTA

    DEFINIZIONE

    Una poligonale e APERTA quando
    1 L INIZIO e la FINE sono DIVERSI
    2 NON torna al punto di partenza
    3 Ha DUE estremi LIBERI
    A
    |
    B ——— C
    |
    D

    INIZIA in A
    FINISCE in D
    CARATTERISTICHE
    NON forma una figura CHIUSA

    Ha un INIZIO e una FINE

    Puo avere QUANTI lati vuoi

    Ma NON si richiude
    ESEMPIO PRATICO
    Come una STRADA di montagna

    Fatta di CURVE e RETTILINEI

    Parte da un punto
    Arriva in un altro punto

    NON torna indietro
    V V V

    POLIGONALE CHIUSA

    DEFINIZIONE

    Una poligonale e CHIUSA quando
    1 L INIZIO e la FINE COINCIDONO
    2 TORNA al punto di partenza
    3 NON ha estremi liberi
    4 Forma una FIGURA
    A ——— B
    | |
    | |
    D ——— C

    CHIUDE IL PERCORSO
    Torna in A
    CARATTERISTICHE
    Forma una FIGURA chiusa

    Puo essere un POLIGONO

    Divide il piano in DUE parti
    DENTRO e FUORI

    Ogni vertice ha DUE lati
    ESEMPIO PRATICO
    Come un RECINTO per animali

    O il perimetro di un CAMPO

    Parte e torna allo stesso punto

    Separa INTERNO da ESTERNO

    IMPORTANTE

    APERTA ha DUE estremi
    CHIUSA NON ha estremi

    APERTA NON forma figura
    CHIUSA forma figura

    Se CHIUSA puo essere POLIGONO

    V V V

    POLIGONALE INTRECCIATA

    DEFINIZIONE

    Una poligonale e INTRECCIATA quando
    1 I lati si INCROCIANO
    2 Si SOVRAPPONGONO in alcuni punti
    3 Forma dei NODI
    4 Puo essere APERTA o CHIUSA
    A ——— B
    \ /
    X
    / \
    D ——— C

    I lati si INCROCIANO
    Formano una X
    CARATTERISTICHE
    I lati si INCROCIANO

    Ci sono PUNTI di intersezione
    oltre ai vertici

    NON e un POLIGONO

    Sembra ATTORCIGLIATA
    ESEMPIO PRATICO
    Come una STELLA a 5 punte
    disegnata senza staccare la penna

    O come un NODO

    I percorsi si INCROCIANO
    tra loro
    V V V

    POLIGONALE NON INTRECCIATA

    DEFINIZIONE

    Una poligonale e NON INTRECCIATA quando
    1 I lati NON si incrociano MAI
    2 Si toccano SOLO nei vertici
    3 NON forma nodi
    4 Puo essere APERTA o CHIUSA
    A ——— B
    | |
    | |
    D ——— C

    NESSUN INCROCIO
    Solo vertici
    CARATTERISTICHE
    SEMPLICE e PULITA

    I lati si toccano
    SOLO agli estremi

    Se CHIUSA e NON INTRECCIATA
    allora e un POLIGONO

    E la forma PIU NORMALE
    ESEMPIO PRATICO
    Come un QUADRATO
    un TRIANGOLO
    un PENTAGONO

    Tutte le figure REGOLARI
    sono NON INTRECCIATE

    REGOLA FONDAMENTALE

    Per essere un POLIGONO serve

    CHIUSA SI
    INTRECCIATA NO

    Solo le poligonali
    CHIUSE e NON INTRECCIATE
    sono POLIGONI

    V V V

    SCHEMA RIEPILOGATIVO

    LE COMBINAZIONI POSSIBILI

    APERTA NON INTRECCIATA
    Linea spezzata SEMPLICE
    che NON torna indietro
    Come un percorso
    APERTA INTRECCIATA
    Linea spezzata ANNODATA
    che NON torna indietro
    Con incroci
    CHIUSA NON INTRECCIATA
    Torna al punto di partenza
    SENZA incroci
    E un POLIGONO
    CHIUSA INTRECCIATA
    Torna al punto di partenza
    CON incroci
    NON e un poligono

    RIEPILOGO FINALE

    SEGMENTI CONSECUTIVI si toccano
    SEGMENTI ADIACENTI toccano E sono dritti

    POLIGONALE e linea spezzata

    APERTA non torna CHIUSA torna
    INTRECCIATA con nodi NON INTRECCIATA semplice

    POLIGONO e CHIUSA e NON INTRECCIATA

  • Angoli

    Angoli – Relazioni Speciali

    ANGOLI
    RELAZIONI SPECIALI

    GLI ANGOLI SI INCONTRANO

    Gli angoli possono essere
    in POSIZIONI SPECIALI

    Tre relazioni importanti
    CONSECUTIVI
    ADIACENTI
    OPPOSTI AL VERTICE

    V V V

    ANGOLI CONSECUTIVI

    DEFINIZIONE

    Due angoli sono CONSECUTIVI quando
    1 Hanno lo STESSO VERTICE
    2 Hanno UN LATO in COMUNE
    3 Sono UNO ACCANTO all altro
    ANGOLO 1
    |
    | LATO COMUNE
    |
    ANGOLO 2
    CARATTERISTICHE
    Condividono UN SOLO lato

    Gli ALTRI due lati sono DIVERSI

    Stanno VICINI ma NON si sovrappongono

    Possono avere QUALSIASI ampiezza
    ESEMPIO PRATICO
    Come le lancette di un OROLOGIO

    La lancetta delle ORE e dei MINUTI
    formano angoli consecutivi

    Partono dal CENTRO stesso punto
    e dividono il quadrante
    V V V

    ANGOLI ADIACENTI

    DEFINIZIONE

    Due angoli sono ADIACENTI quando
    1 Sono CONSECUTIVI
    2 Gli altri due lati sono OPPOSTI
    3 Formano una LINEA RETTA
    4 La SOMMA e 180 gradi
    ————— | —————
    ANG 1 | ANG 2
    INSIEME fanno 180°
    CARATTERISTICHE SPECIALI
    Sono SEMPRE consecutivi

    Ma NON tutti i consecutivi sono adiacenti

    I lati NON comuni formano
    un ANGOLO PIATTO 180 gradi

    Sono SUPPLEMENTARI
    la loro somma fa 180 gradi

    REGOLA D ORO

    ADIACENTI sempre CONSECUTIVI

    CONSECUTIVI NON sempre ADIACENTI

    Per essere ADIACENTI
    serve angolo PIATTO 180 gradi

    ESEMPIO PRATICO
    Una PORTA socchiusa

    Forma DUE angoli adiacenti

    Angolo APERTO piu angolo CHIUSO
    fanno sempre 180 gradi

    Se uno e 60 gradi l altro e 120 gradi
    V V V

    ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE

    DEFINIZIONE

    Due angoli sono OPPOSTI AL VERTICE quando
    1 Hanno lo STESSO VERTICE
    2 I lati di uno sono OPPOSTI ai lati dell altro
    3 Si formano quando DUE RETTE si INCROCIANO
    4 NON hanno lati in comune
    ANG 1
    \ /
    X
    / \
    ANG 2

    ANG 1 e ANG 2
    OPPOSTI AL VERTICE
    PROPRIETA FONDAMENTALE
    Gli angoli opposti al vertice
    sono SEMPRE CONGRUENTI

    Cioe hanno la STESSA AMPIEZZA

    Questo e un TEOREMA
    sempre VERO al 100 per cento

    TEOREMA IMPORTANTE

    Due rette che si INCROCIANO
    formano QUATTRO angoli

    Gli angoli OPPOSTI
    sono sempre UGUALI

    Se uno e 30 gradi
    l opposto e anche 30 gradi

    ESEMPIO PRATICO
    Due STRADE che si INCROCIANO

    Formano 4 angoli

    Gli angoli di FRONTE
    sono sempre UGUALI

    Come una X maiuscola
    angoli opposti identici
    V V V

    CONFRONTO TRA I TRE TIPI

    CONSECUTIVI
    Stesso vertice

    UN lato comune

    Uno accanto altro

    Qualsiasi ampiezza
    ADIACENTI
    Consecutivi PIU

    Lati formano retta

    Somma 180 gradi

    Supplementari
    OPPOSTI
    Stesso vertice

    NESSUN lato comune

    Di fronte

    SEMPRE UGUALI

    RICORDA LE DIFFERENZE

    CONSECUTIVI toccano
    ADIACENTI toccano E fanno 180
    OPPOSTI NON toccano ma sono UGUALI

    Ogni tipo ha REGOLE diverse

    RIEPILOGO FINALE

    CONSECUTIVI Un lato in comune
    ADIACENTI Consecutivi che fanno 180
    OPPOSTI AL VERTICE Sempre uguali

    Questi sono i TRE modi
    in cui gli angoli si INCONTRANO

    Impara a RICONOSCERLI

  • Semipiani, angoli e figure geometriche

    Semipiani, Angoli e Figure

    SEMIPIANI
    ANGOLI
    FIGURE

    SEMIPIANI

    |—

    COS E IL SEMIPIANO

    E la META di un piano

    Diviso da una RETTA

    La retta si chiama
    ORIGINE del semipiano

    E infinito da una parte

    Come un foglio
    tagliato a meta
    da una riga
    |—|—

    DUE SEMIPIANI

    Una retta DIVIDE
    il piano in DUE parti

    Sono OPPOSTI

    Insieme formano
    il piano INTERO

    La retta e il CONFINE

    Sopra e sotto
    Destra e sinistra
    divisi da una linea
    V V V

    ANGOLI

    ＜

    COS E L ANGOLO

    E la parte di piano
    tra DUE SEMIRETTE

    Le semirette partono
    dallo STESSO punto

    Il punto si chiama
    VERTICE

    Le semirette sono i LATI

    ° ‘

    COME SI MISURA

    Si misura in GRADI

    Simbolo °

    Un giro completo
    e 360 gradi

    Mezzo giro e 180 gradi

    Un quarto e 90 gradi

    V V V

    TIPI DI ANGOLI

    ＜

    ANGOLO ACUTO

    E PICCOLO

    Minore di 90 gradi

    E STRETTO
    e APPUNTITO

    Da 0 a 89 gradi
    L

    ANGOLO RETTO

    E un ANGOLO PERFETTO

    Esattamente 90 gradi

    Forma una L

    Gli angoli del quadrato
    sono RETTI

    Proprio 90 gradi
    ＞

    ANGOLO OTTUSO

    E GRANDE

    Maggiore di 90 gradi

    Ma minore di 180

    E APERTO
    e LARGO

    Da 91 a 179 gradi
    —

    ANGOLO PIATTO

    E una LINEA DRITTA

    Esattamente 180 gradi

    I due lati sono
    OPPOSTI

    Forma una retta

    Proprio 180 gradi
    ○

    ANGOLO GIRO

    E un GIRO COMPLETO

    Esattamente 360 gradi

    Torna al PUNTO
    di partenza

    Proprio 360 gradi
    V V V

    FIGURE GEOMETRICHE

    ▱

    POLIGONO

    Figura CHIUSA

    Fatta di SEGMENTI

    I segmenti sono i LATI

    Gli incontri sono i VERTICI

    Puo avere 3 4 5 6
    o piu lati

    ⬡

    POLIGONO REGOLARE

    E un poligono SPECIALE

    TUTTI i lati UGUALI

    TUTTI gli angoli UGUALI

    E perfettamente
    SIMMETRICO

    Quadrato
    Triangolo equilatero
    Esagono regolare
    V V V

    TRIANGOLI

    △

    TRIANGOLO BASE

    Ha TRE lati

    Ha TRE angoli

    Ha TRE vertici

    La figura PIU SEMPLICE

    Non si puo deformare

    △

    EQUILATERO

    Tutti i lati UGUALI

    Tutti gli angoli UGUALI

    Ogni angolo e 60 gradi

    E REGOLARE

    △

    ISOSCELE

    DUE lati UGUALI

    DUE angoli UGUALI

    Un lato DIVERSO
    si chiama BASE

    △

    SCALENO

    Tutti i lati DIVERSI

    Tutti gli angoli DIVERSI

    Nessuna simmetria

    △

    RETTANGOLO

    Ha UN angolo RETTO

    90 gradi

    Vale il teorema
    di PITAGORA

    V V V

    QUADRILATERI

    □

    QUADRATO

    4 lati UGUALI

    4 angoli RETTI
    tutti 90 gradi

    E REGOLARE

    Perfettamente simmetrico

    ▭

    RETTANGOLO

    Lati opposti UGUALI

    4 angoli RETTI
    tutti 90 gradi

    Due lati LUNGHI
    Due lati CORTI

    ▱

    ROMBO

    4 lati UGUALI

    Angoli NON retti

    Angoli opposti UGUALI

    Come un quadrato
    INCLINATO

    ▱

    PARALLELOGRAMMA

    Lati opposti PARALLELI

    Lati opposti UGUALI

    Angoli opposti UGUALI

    Come un rettangolo
    INCLINATO

    ▲

    TRAPEZIO

    DUE lati PARALLELI

    Si chiamano BASI

    Due lati NON paralleli

    Isoscele se i lati
    obliqui sono UGUALI

    V V V

    CERCHIO E CIRCONFERENZA

    ○

    CIRCONFERENZA

    E una LINEA CURVA

    TUTTI i punti sono
    alla STESSA distanza
    dal CENTRO

    E solo il CONTORNO

    Come il bordo
    di un piatto
    ●

    CERCHIO

    E la SUPERFICIE

    Tutti i punti DENTRO
    la circonferenza

    PIU la circonferenza

    E PIENO non vuoto

    Come un piatto
    INTERO con il bordo
    —○—

    RAGGIO

    Segmento dal CENTRO
    alla circonferenza

    TUTTI i raggi sono
    UGUALI

    Si indica con r

    —●—

    DIAMETRO

    Segmento che passa
    per il CENTRO

    Tocca la circonferenza
    in DUE punti opposti

    E il DOPPIO del raggio

    Si indica con d

    RICORDA

    SEMIPIANI dividono lo spazio
    ANGOLI misurano le aperture
    POLIGONI hanno lati dritti
    CERCHIO ha forma curva

    Ogni figura ha
    CARATTERISTICHE SPECIALI

  • GEOMETRIA EUCLIDEA – Definizioni ed enti primitivi

    Geometria Euclidea – Enti Primitivi

    GEOMETRIA EUCLIDEA

    COME FUNZIONA LA GEOMETRIA

    La geometria si costruisce
    partendo da POCHE idee semplici
    per arrivare a TANTE verita complesse

    I MATTONI DELLA GEOMETRIA

    ENTI PRIMITIVI

    Sono i concetti BASE

    NON si DEFINISCONO

    Si ACCETTANO
    con la intuizione

    Sono PUNTO RETTA PIANO

    Come la parola CASA
    tutti sanno cosa e
    senza spiegazioni

    DEFINIZIONI

    SPIEGANO cosa sono
    i nuovi concetti

    Usano SOLO enti primitivi
    e cose gia definite

    Devono essere CHIARE

    SEGMENTO e
    la parte di retta
    tra due punti

    POSTULATI

    Sono VERITA
    che SI ACCETTANO

    NON si dimostrano

    Parlano di GEOMETRIA

    Sono le REGOLE del gioco

    Per due punti
    passa UNA SOLA retta
    Lo accettiamo cosi

    ASSIOMI

    Sono VERITA
    che SI ACCETTANO

    NON si dimostrano

    Valgono per TUTTO
    non solo geometria

    Sono LOGICA pura

    Cose UGUALI a una terza
    sono UGUALI tra loro
    Vale ovunque

    TEOREMI

    Sono VERITA
    che SI DIMOSTRANO

    Si parte da
    postulati e assiomi

    Si arriva alla PROVA

    Sono SICURI al 100%

    Teorema di Pitagora
    Si puo DIMOSTRARE
    con la logica
    V V V

    DIFFERENZA IMPORTANTE

    POSTULATI parlano di GEOMETRIA
    ASSIOMI parlano di TUTTO

    Ma entrambi NON si dimostrano
    Si ACCETTANO come veri

    V V V

    I TRE ENTI PRIMITIVI

    .

    PUNTO

    NON ha dimensioni

    NON ha grandezza

    Indica una POSIZIONE

    Si indica con lettera MAIUSCOLA
    Es A B C

    ———

    RETTA

    Ha UNA dimensione

    LUNGHEZZA infinita

    SENZA spessore

    Si indica con lettera minuscola
    Es r s t

    ▭

    PIANO

    Ha DUE dimensioni

    SUPERFICIE infinita

    SENZA spessore

    Si indica con lettera greca
    Es alfa beta gamma

    V V V

    DEFINIZIONI IMPORTANTI

    SEMIRETTA

    Parte di RETTA

    Ha un INIZIO
    chiamato ORIGINE

    NON ha FINE

    Continua all infinito

    SEGMENTO

    Parte di RETTA

    Ha INIZIO e FINE

    Due punti chiamati
    ESTREMI

    Ha LUNGHEZZA finita

    SEMIPIANO

    Parte di PIANO

    Diviso da una RETTA

    La retta si chiama
    ORIGINE

    Infinito in tutte
    le direzioni

    SPAZIO

    Insieme di TUTTI
    i punti

    Ha TRE dimensioni

    Lunghezza
    Larghezza
    Altezza

    V V V

    POSTULATI BASE

    REGOLE FONDAMENTALI

    1 Per DUE punti passa UNA SOLA retta
    2 Per TRE punti passa UN SOLO piano
    3 Se due punti stanno su un piano
    TUTTA la retta sta sul piano
    4 Due rette si incontrano in
    UN SOLO punto o MAI
    5 Due piani si incontrano in
    UNA retta o MAI

    RICORDA

    ENTI PRIMITIVI non si definiscono
    DEFINIZIONI spiegano i nuovi concetti
    POSTULATI e ASSIOMI si accettano
    TEOREMI si dimostrano

    Questo e il METODO di Euclide

  • LE PROPORZIONI

    Mappa Concettuale – Proporzioni
    📊 MAPPA CONCETTUALE: PROPORZIONI 📊
    PROPORZIONE
    Uguaglianza tra due rapporti
    ⬇️
    📖 DEFINIZIONE

    Una proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti

    a : b = c : d

    Si legge:
    “a sta a b come c sta a d”

    Esempio base:
    2 : 4 = 3 : 6
    (2 sta a 4 come 3 sta a 6)
    🏷️ TERMINI
    a : b = c : d
    • a e d
      ESTREMI
      (primo e quarto termine)
    • b e c
      MEDI
      (secondo e terzo termine)
    In 2 : 4 = 3 : 6
    Estremi: 2 e 6
    Medi: 4 e 3
    ⬇️
    ⚙️ PROPRIETÀ FONDAMENTALE

    Il prodotto degli ESTREMI è uguale al prodotto dei MEDI

    a × d = b × c
    Verifica con 2 : 4 = 3 : 6

    Estremi: 2 × 6 = 12
    Medi: 4 × 3 = 12

    ✅ Sono uguali! È una proporzione!

    📌 Questa proprietà serve per:

    • Verificare se è una proporzione
    • Calcolare il termine incognito
    ⬇️
    💡 ESEMPI PRATICI
    Esempio 1: Trovare x
    3 : 6 = 5 : x

    Estremi: 3 × x = 3x
    Medi: 6 × 5 = 30

    3x = 30
    x = 30 ÷ 3 = 10
    Esempio 2: Trovare y
    y : 8 = 3 : 4

    Estremi: y × 4 = 4y
    Medi: 8 × 3 = 24

    4y = 24
    y = 24 ÷ 4 = 6
    Esempio 3: Verifica
    5 : 10 = 7 : 14

    Estremi: 5 × 14 = 70
    Medi: 10 × 7 = 70

    ✅ È una proporzione!
    🌍 APPLICAZIONI

    Le proporzioni si usano in:

    • Ricette
      Se 2 uova servono per 4 persone, quante ne servono per 6?
    • Carte geografiche
      Scale: 1:100.000
    • Percentuali
      Sconti e aumenti
    • Velocità
      Tempo e distanza
    • Cambio valute
      Euro in dollari
    Problema reale:
    Se 3 kg di mele costano 6€, quanto costano 5 kg?

    3 : 6 = 5 : x
    3x = 30
    x = 10€

  • DA DECIMALE A FRAZIONE

    Conversioni tra Frazioni e Decimali

    📐 CONVERSIONI TRA FRAZIONI E DECIMALI 📐

    1️⃣ DA FRAZIONE A DECIMALE

    PASSO 1: Prendi la frazione (esempio: 3/4)
    PASSO 2: Dividi il numero sopra per il numero sotto
    PASSO 3: Se la divisione finisce → numero decimale finito
    Se la divisione continua all’infinito → numero periodico
    💡 ESEMPIO 1:
    3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75
    💡 ESEMPIO 2:
    1/3 = 1 ÷ 3 = 0,333… (il 3 si ripete)

    2️⃣ DA DECIMALE A FRAZIONE

    PASSO 1: Conta quante cifre ci sono dopo la virgola
    PASSO 2: Scrivi il numero senza virgola sopra (numeratore)
    PASSO 3: Scrivi sotto (denominatore): 1 seguito da tanti zeri quante cifre decimali
    PASSO 4: Semplifica se possibile
    💡 ESEMPIO:
    0,75 ha 2 cifre dopo la virgola

    Numeratore: 75
    Denominatore: 100 (1 con due zeri)

    Frazione: 75/100
    Semplificata: 3/4

    3️⃣ DA PERIODICO SEMPLICE A FRAZIONE

    ⚠️ PERIODICO SEMPLICE = La parte che si ripete inizia subito dopo la virgola
    PASSO 1: Scrivi sopra solo la parte che si ripete
    PASSO 2: Scrivi sotto tanti 9 quante sono le cifre che si ripetono
    PASSO 3: Semplifica
    💡 ESEMPIO 1:
    0,333… (il 3 si ripete)

    Sopra: 3
    Sotto: 9 (un 9 perché si ripete 1 cifra)

    Frazione: 3/9 = 1/3
    💡 ESEMPIO 2:
    0,454545… (il 45 si ripete)

    Sopra: 45
    Sotto: 99 (due 9 perché si ripetono 2 cifre)

    Frazione: 45/99 = 5/11

    4️⃣ DA PERIODICO MISTO A FRAZIONE

    ⚠️ PERIODICO MISTO = Ci sono cifre dopo la virgola che NON si ripetono, poi inizia la parte che si ripete
    PASSO 1: Scrivi tutto il numero senza virgola
    PASSO 2: Sottrai la parte che NON si ripete
    PASSO 3: Il risultato va sopra (numeratore)
    PASSO 4: Sotto scrivi: tanti 9 per le cifre che si ripetono + tanti 0 per le cifre che NON si ripetono
    💡 ESEMPIO:
    0,8333…
    NON si ripete: 8
    Si ripete: 3

    Tutto il numero: 83
    Parte che non si ripete: 8
    Sottrazione: 83 – 8 = 75

    Sopra: 75
    Sotto: 90 (un 9 per la cifra che si ripete + uno 0 per la cifra che non si ripete)

    Frazione: 75/90 = 5/6

    ✅ RICORDA

    • Frazione → Decimale: DIVIDI
    • Decimale → Frazione: metti sopra il numero senza virgola, sotto 1 con tanti zeri
    • Periodico semplice: sopra la parte che si ripete, sotto tanti 9
    • Periodico misto: più difficile, usa la sottrazione e i 9 e 0

  • NUMERI DECIMALI

    Numeri Decimali – Mappa Concettuale

    🔢 Numeri Decimali

    💡 Cosa Sono?

    I numeri decimali hanno la virgola!

    Esempio: 3,5 oppure 0,75 oppure 12,333

    La parte dopo la virgola si chiama parte decimale

    🔄 Dalla Frazione al Numero Decimale

    📝 Come si fa?

    Dividi il numeratore per il denominatore!

    Esempio 1: 3/4 = ?
    ⬇️
    Fai: 3 ÷ 4 = 0,75
    Esempio 2: 1/2 = ?
    ⬇️
    Fai: 1 ÷ 2 = 0,5
    Esempio 3: 5/4 = ?
    ⬇️
    Fai: 5 ÷ 4 = 1,25

    ⚠️ Attenzione!

    Alcune frazioni danno numeri decimali che non finiscono mai!

    Esempio: 1/3 = 0,333333… (infinito!)

    🔄 Dal Numero Decimale alla Frazione

    📝 Il Metodo

    CONTA LE CIFRE DOPO LA VIRGOLA!
    • 1 cifra → metti /10 (decimi)
    • 2 cifre → metti /100 (centesimi)
    • 3 cifre → metti /1000 (millesimi)
    Esempio 1: 0,5 = ?
    ⬇️
    1 cifra dopo la virgola → 5/10 = 1/2 (semplificata!)
    Esempio 2: 0,75 = ?
    ⬇️
    2 cifre dopo la virgola → 75/100 = 3/4 (semplificata!)
    Esempio 3: 0,125 = ?
    ⬇️
    3 cifre dopo la virgola → 125/1000 = 1/8 (semplificata!)
    Esempio 4: 2,3 = ?
    ⬇️
    2,3 = 2 + 0,3 = 2 + 3/10 = 23/10

    ⚖️ Proporzioni

    💡 Cosa Sono?

    Le proporzioni sono uguaglianze tra frazioni!

    a : b = c : d

    Si legge: “a sta a b come c sta a d”

    🔑 Proprietà Fondamentale

    a × d = b × c

    I prodotti incrociati sono uguali!

    Esempio: 2 : 4 = 3 : 6
    ⬇️
    Verifica: 2 × 6 = 12 e 4 × 3 = 12 ✅
    Trovare l’incognita: 3 : 5 = x : 10
    ⬇️
    3 × 10 = 5 × x
    30 = 5 × x
    x = 30 ÷ 5 = 6

    📊 Percentuali

    🎯 Cosa Sono?

    Le percentuali sono frazioni con denominatore 100!

    % = /100

    50%

    50/100 = 1/2 = 0,5

    La metà!

    25%

    25/100 = 1/4 = 0,25

    Un quarto!

    75%

    75/100 = 3/4 = 0,75

    Tre quarti!

    10%

    10/100 = 1/10 = 0,1

    Un decimo!

    🧮 Come Calcolare le Percentuali

    PERCENTUALE × NUMERO ÷ 100
    Esempio 1: Quanto è il 20% di 50?
    ⬇️
    20 × 50 ÷ 100 = 1000 ÷ 100 = 10
    Esempio 2: Quanto è il 30% di 80?
    ⬇️
    30 × 80 ÷ 100 = 2400 ÷ 100 = 24
    Esempio 3: Un libro costa 20€. Sconto del 15%. Quanto risparmio?
    ⬇️
    15 × 20 ÷ 100 = 300 ÷ 100 = 3€
    Prezzo finale: 20 – 3 = 17€

    🔄 Conversioni Veloci

    Da Frazione a %

    Dividi e moltiplica per 100

    1/4 = 0,25
    0,25 × 100 = 25%

    Da % a Frazione

    Scrivi /100 e semplifica

    40% = 40/100
    = 2/5

    Da % a Decimale

    Dividi per 100

    35% = 35 ÷ 100
    = 0,35

    ✨ Ricorda!

    • Frazione → Decimale: dividi!
    • Decimale → Frazione: conta le cifre dopo la virgola!
    • Proporzione: prodotti incrociati uguali!
    • Percentuale: è sempre /100!